Postulato di Transitività delle Relazioni

Dato:

- L'assioma di generazione di istanze: ∀r∀i₁...∀iₙ(R(r) ∧ I(i₁) ∧ ... ∧ I(iₙ) ∧ A(r, i₁, ..., iₙ) → ∃j(I(j) ∧ G(r, j)))

- L'assioma di appartenenza delle relazioni allo spazio: ∀x(R(x) → ∃y(S(y) ∧ ∈(x, y)))

Postulato:

Per ogni coppia di relazioni r₁ e r₂, se r₁ collega le istanze a e b, e r₂ collega le istanze b e c, allora esiste una relazione r₃ che collega direttamente a e c.

Formalmente:

∀r₁∀r₂∀a∀b∀c(R(r₁) ∧ R(r₂) ∧ I(a) ∧ I(b) ∧ I(c) ∧ A(r₁, a, b) ∧ A(r₂, b, c) → ∃r₃(R(r₃) ∧ A(r₃, a, c)))

Dove:

- R(x) significa "x è una relazione"

- I(x) significa "x è un'istanza"

- A(r, x, y) significa "la relazione r è applicata alle istanze x e y"

Dimostrazione:

1. Data l'esistenza di r₁(a, b) e r₂(b, c) per gli assiomi di base.

2. Per l'assioma di generazione di istanze, applicando r₂ a b genera c.

3. La relazione r₁ si estende oltre b nella direzione di c.

4. Poiché c è sulla proiezione di r₁, per la proprietà di appartenenza implicita, esiste una relazione che collega a e c.

5. Chiamiamo questa relazione r₃.

6. Quindi, esiste r₃ tale che A(r₃, a, c).

Questo postulato stabilisce la transitività delle relazioni nella Geometria Generativa, dimostrando come le relazioni possano essere composte per creare connessioni dirette tra istanze non immediatamente adiacenti.