Assiomatizzazione della Geometria G

1. Assioma di Esistenza dello Spazio:

   ∃x(S(x))

   In linguaggio naturale: "Esiste almeno uno spazio."

2. Assioma di Appartenenza delle Istanze allo Spazio:

   ∀x(I(x) → ∃y(S(y) ∧ ∈(x, y)))

   In linguaggio naturale: "Ogni istanza appartiene ad almeno uno spazio."

3. Assioma di Appartenenza delle Relazioni allo Spazio:

   ∀x(R(x) → ∃y(S(y) ∧ ∈(x, y)))

   In linguaggio naturale: "Ogni relazione appartiene ad almeno uno spazio."

4. Assioma di Esistenza di Istanze Distinte:

   ∀x(S(x) → ∃i₁∃i₂(I(i₁) ∧ I(i₂) ∧ ∈(i₁, x) ∧ ∈(i₂, x) ∧ i₁ ≠ i₂))

   In linguaggio naturale: "Ogni spazio contiene almeno due istanze distinte."

5. Assioma di Generazione di Istanze:

   ∀r∀i₁...∀iₙ(R(r) ∧ I(i₁) ∧ ... ∧ I(iₙ) ∧ A(r, i₁, ..., iₙ) → ∃j(I(j) ∧ G(r, j)))

   In linguaggio naturale: "L'applicazione di una relazione a delle istanze genera sempre almeno una nuova istanza."

6. Assioma di Generazione Esclusiva delle Istanze:

   ∀x(I(x) → (P(x) ∨ ∃r∃y₁...∃yₙ(R(r) ∧ I(y₁) ∧ ... ∧ I(yₙ) ∧ G(r, x, y₁, ..., yₙ))))

   In linguaggio naturale: "Ogni istanza è o un'istanza primitiva, o è generata dall'applicazione di una relazione ad altre istanze."

7. Assioma di Unicità dello Spazio:

   ∀x∀y((S(x) ∧ S(y)) → x = y)

   In linguaggio naturale: "Esiste un unico spazio."

8. Assioma di Ordine delle Relazioni:

   ∀r∀i₁∀i₂...∀iₙ(R(r) ∧ A(r, i₁, i₂, ..., iₙ) → ¬A(r, iₖ, ..., i₁) dove k ≠ 1)

   In linguaggio naturale: "L'ordine delle istanze in una relazione è significativo e non può essere arbitrariamente permutato."